串联电阻计算

SunSolve Power 实现了一种解析方法，用于计算太阳电池的串联电阻。 该模型同时考虑了各个栅线元件（栅指、汇流条、焊盘和焊带）的串联电阻、这些元件之间的接触电阻、电池表面（例如扩散发射极层）中的横向导电、电池体内载流子的体电阻传输，以及半导体与金属接触界面处的电阻。

每个金属元件都被视为从电池某一给定有效收集面积收集电流的电阻导体。每个元件中的功率损耗由其几何形状以及电流进入和离开该元件的方式决定，然后再将功率损耗转换为等效的串联电阻。

我们将 $R_{s,\text{cell}}$ 定义为：

$$R_{s,\text{cell}} = \frac{\Delta P_{\text{cell}}}{I_{\text{cell}}^{2}}\,A_{\text{cell}}$$

其中，$\Delta P_{\text{cell}}$ 是由电池中所有电阻性元件引起的总功率损耗，$I_{\text{cell}}$ 是电池的输出电流，$A_{\text{cell}}$ 是电池的总有效半导体面积（即向栅线提供电流的面积）。

该定义通过使用单位 $\Omega\,\text{cm}^2$，使 $R_s$ 与电池尺寸无关。

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栅线模型概述

在 SunSolve Power 中，金属栅线被表示为由四类元件组成的网络：

• 栅指（fingers）：在局部区域从半导体中收集电流。
• 汇流条（busbars）：从大量栅指收集电流，并将其引向焊盘。
• 焊盘（pads）：为焊带提供连接点。
• 焊带（ribbons）：将电流从电池引出到外部电路。

在受光侧（假定为正面），在有效半导体区域内生成均匀的光生电流。 这些电流首先进入栅指，然后沿栅指长度流向汇流条；在汇流条上，从栅指并入的位置沿一段汇流条流向最近的接触焊盘，最后再沿焊带传输到外部电路。 在背面，汇流条和焊盘还可以直接从其投影到半导体上的区域收集电流。

如果栅线没有汇流条，电流则沿栅指流向与焊带的相交点，然后沿焊带传输。

如果栅线没有焊带，电流就从焊盘处被抽取出来。这种情况下，栅线电阻计算与 IV 测试仪上的情况类似：一对探针在汇流条上的不同位置接触并抽取电流。

在串联电阻计算中，每个金属元件：

• 被视为具有确定长度、截面和电流分布的分布式电阻，且
• 与一个有效半导体收集面积 $A_{\text{seg}}$ 相关联，该面积内产生的电流全部通过该元件流动。

求解器会确保每一部分有效半导体面积都只对应一条穿过金属网络的电流路径，因此在后续公式中频繁出现有效面积 $A_{\text{seg}}$ 和总有效面积 $A_{\text{cell}}$。

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栅线电阻

在数值求解时，SunSolve Power 将前后栅线表示为由若干相互连接的子元件组成的网络，这些子元件对应于栅指、汇流条、焊盘和焊带的不同段。 当栅线布局足够规则时，求解器会在一个具有代表性的单元栅线（单元格）上进行求解，然后将结果按比例放大以描述整个晶圆。 当晶圆形状或接触布局过于复杂，无法用简单的单元格来表示时，求解器则直接在受晶圆边界约束的完整栅线布局上进行求解，而不使用基于对称性的缩放。

本节说明如何计算各类元件的串联电阻。

单个栅线元件的功率损耗

For any metal grid element (finger, busbar, pad or ribbon) the resistive power loss is

$$\Delta P = \frac{\rho \cdot L \cdot I_L^2}{g(B_0, B_L, L)}$$

where:

SymbolMeaning$\rho$, electrical resistivity of the metal$L$, length of the element$I_L$，从元件末端流出的电流$B_0$，元件起始端的截面积$B_L$，元件末端的截面积$g$，考虑锥度和电流分布的几何因子

当元件截面沿长度线性变化且电流分布为三角形或恒定时，这个紧致形式是有效的。

术语”三角形电流”表示 $I_0 = 0$ 的情况。在这种情况下，电流在 l = 0 处为零（例如在栅指末端），并线性增加到在 l = L 处达到最大值（例如在栅指与汇流条的交汇处）。 术语”锥形电流”表示 $I_0$ 为有限值且 $I_L > I_0$ 的情况。

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几何因子

几何因子 $g(B_0,B_L,L)$ 描述了元件的锥度和电流分布如何改变其电阻损耗。 在 SunSolve Power 中，求解器使用三种封闭形式的情形，应用如下。

三角形电流，恒宽元件

该情形用于具有恒定截面的栅指和汇流条。电流沿元件长度线性增加，此时

$$g(B_0,B_L,L) = {3 B_L}$$

三角形电流，锥形元件

该情形用于锥形栅指和锥形汇流条。截面积沿长度方向从起始截面 $B_0$ 线性变化到末端截面 $B_L$，电流仍沿长度线性增加。几何因子为

$$g(B_0,B_L,L) = \frac{(B_L-B_0)^3}{\dfrac{B_L^2-B_0^2}{2} - 2 B_0 (B_L-B_0) + B_0^2 \ln\left(\dfrac{B_L}{B_0}\right)}$$

恒定电流，恒宽元件

该情形用于金属焊带（tabbing）以及任何使用恒定电流、恒定宽度特性建模的其他元件。几何因子为

$$g(B_0,B_L,L) = {B_L}$$

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截面积

截面积 $B(l)$ 取决于所选的截面形状：

截面形式$\mathbf{B}(l)$矩形，$W(l) \cdot H$三角形，$\tfrac{1}{2} \cdot W(l) \cdot H$圆形，$\pi \cdot W(l)^2$椭圆形，$\pi \cdot W(l) \cdot H$半椭圆形，$\tfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot W(l)\cdot H$梯形，$\tfrac{1}{2} \cdot H \cdot \bigl(W_1(l) + W_2(l)\bigr)$矩形基五边形，$\tfrac{1}{2} \cdot W(l) \cdot \bigl(H_1 + H_2\bigr)$伪矩形（类型 A），$W(l) \cdot H - W(l)^2\!\left(\tfrac12-\tfrac{\pi}{8}\right)$伪矩形（类型 B），$W(l) \cdot H - H^2\!\left(2-\tfrac{\pi}{2}\right)$

宽度 $W(l)$ 可沿元件长度线性变化。

不同元件可用的截面选项，请参见电极页面中的相应章节。

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通过各元件的电流

从栅线元件流出的电流与为其供电的有效半导体面积成正比：

$$I_L = J_{\text{active}} \cdot A_{\text{seg}} = \frac{I_{\text{cell}}}{A_{\text{cell}}} \cdot A_{\text{seg}}$$

其中：

符号含义$A_{\text{seg}}$，由该元件收集的有效面积$A_{\text{cell}}$，电池的总有效面积$J_{\text{active}}$，均匀的光生电流密度

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有效面积与栅线中的电流流动

在内部实现中，求解器自下而上构造这些有效面积，从半导体开始，沿金属网络逐级向外传播：

• 栅指 定义了为其供电的半导体条带。在受光侧，这些条带会减去栅指自身的投影以及任何焊带遮挡。在背面，这些条带不会因正面遮挡而减少，并且对于交指布局，使用相邻栅指之间的整个间距。
• 汇流条 累加与其连接的所有栅指的有效面积。在背面，它们还直接从其在半导体上的投影区域收集电流，这部分会加到其有效面积中。
• 焊盘 累加所有向其汇入的栅指和汇流条的有效面积。在背面，每个焊盘还会额外加上其在晶圆上的自身投影面积。焊盘有效面积的总和（从单元栅线缩放到整个晶圆）被求解器用作串联电阻公式中的 $A_{\text{cell}}$。
• 焊带 不直接与半导体接触。相反，每一段焊带都将其下方焊盘的有效面积视为在该段进入焊带的电流所对应的面积，随着焊带依次跨越不同焊盘，其沿焊带方向的总有效面积逐步增加。

在组件仿真中，当焊带在不同晶圆之间延伸时，求解器还会在每一段焊带的几何长度中加入相邻晶圆之间的物理间距，从而使焊带串联电阻包含电池之间的互连部分。

这种构造方式确保每一平方厘米的有效半导体面积都只对应一条通过金属网络的路径（经由栅指，再到汇流条和焊盘，最后进入焊带），这正是上述公式中 $A_{\text{seg}}$ 和 $A_{\text{cell}}$ 项的基础。

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单个栅线元件的串联电阻贡献

将上述定义结合起来，任一金属元件的串联电阻贡献可写为

$$R_s = \frac{\rho \cdot L}{g(B_0,B_L,L)} \cdot \left[ \frac{A_{\text{seg}}}{A_{\text{cell}}} \right]^2 \cdot A_{\text{cell}}$$

这是栅线 Rs 计算使用的核心方程。 它会应用到每一条栅指、汇流条、焊盘和焊带上，然后求和得到总的金属栅线电阻。 需要注意的是，电流的绝对值已经从公式中消去，因此可以在不需要明确知道该值的情况下进行串联电阻计算。

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接触电阻

半导体与某个栅线元件之间的接触电阻是单独处理的。

功率损耗为：

$$\Delta P_{\text{cont}} = \frac{r_{\text{cont}} I_{\text{cont}}^2}{A_{\text{cont}}}$$

其中 $r_{\text{cont}}$ 是比接触电阻率，$A_{\text{cont}}$ 是金属–半导体的接触面积。

从半导体流入该元件的电流为：

$$I_{\text{cont}} = \frac{I_{\text{cell}}}{A_{\text{cell, active}}} \cdot A_{s, active}$$

其中 $A_{s, active}$ 是直接向该元件供电的有效半导体面积。 需要注意的是，它不一定等于如上定义的栅线元件的有效面积 ${A_{seg}}$。例如，汇流条通过一组栅指从电池的大面积区域收集电流。在这种情况下，${A_{seg}}$ 很大而 ${A_{s, active}}$ 要小得多。（如果汇流条遮挡了它本可以进行的任何收集，它甚至可能为零）。

因此，接触电阻的串联电阻贡献可写为：

$$R_{s,\text{cont}} = \frac{r_{\text{cont}}}{A_{\text{cont}}} \cdot \left( \frac{A_{s, active}}{A_{\text{cell, active}}} \right)^2 \cdot A_{\text{cell}}$$

在求解器层面，这个表达式会分别应用到不同类型的元件上，并对 $A_{\text{cont}}$ 和 $A_{s, active}$ 采用不同的解释：

• 栅指 – $A_{\text{cont}}$ 为栅指在晶圆上的投影面积（栅指宽度乘以栅指长度），除非在栅指下方定义了片电阻（在这种情况下，请参见有关电流拥挤的下一节）。$A_{s, active}$ 为电流直接通过该栅指进入的有效半导体面积。
• 汇流条（仅背面） – 汇流条的接触电阻项表示汇流条–晶圆的接触。$A_{\text{cont}}$ 为汇流条在晶圆上的投影面积，$A_{s, active}$ 与该面积相同，因为背面汇流条从其正下方的半导体垂直收集电流。当汇流条位于正面时，无论指定的接触电阻率如何，该贡献都设为零。
• 焊盘（仅背面） – 焊盘的接触电阻项表示焊盘–晶圆的接触。$A_{\text{cont}}$ 为焊盘投影面积，$A_{s, active}$ 为该相同面积。与汇流条一样，只有当焊盘在背面时才包括焊盘接触电阻。
• 焊带 – 焊带接触电阻表示每段焊带与其焊盘之间的焊接（或键合）界面，而不是焊带–晶圆接触。在这种情况下，求解器使用焊盘投影面积作为公式中的接触面积，因此 $A_{\text{cont}}$ 等于该段下方焊盘的面积，而 $A_{s, active}$ 则是通过该焊盘流出的总半导体面积。

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栅指的电流拥挤与转移长度

当启用具有有限片电阻 $R_\square$ 的导电表面层（前表皮或后表皮）时，栅指下方的电流分布并不均匀，而是集中在一个宽度与转移长度 $L_T$ 同数量级的区域内，只有名义宽度的一部分真正承担电流。

对于给定的比接触电阻 $r_{\text{cont}}$ 和片电阻 $R_\square$，转移长度为：

$$L_T = \sqrt{\frac{r_{\text{cont}}}{R_\square}}.$$

对于名义宽度为 $W_F$ 的恒宽栅指，其有效接触宽度为：

$$W_E = 2 L_T \tanh\!\left(\frac{W_F}{2 L_T}\right),$$

栅指接触电阻的串联电阻贡献会增加一个因子：

$$R_{s,\text{cont}}^{\text{(finger, eff)}} = R_{s,\text{cont}}^{\text{(finger)}} \cdot \frac{W_F}{W_E}$$

对于锥形栅指，SunSolve 使用最大宽度和最小宽度的平均值。记 $W_{F,\max}$ 和 $W_{F,\min}$ 为栅指的最大和最小宽度，则

$$W_{E,\max} = 2 L_T \tanh\!\left(\frac{W_{F,\max}}{2 L_T}\right), \qquad W_{E,\min} = 2 L_T \tanh\!\left(\frac{W_{F,\min}}{2 L_T}\right),$$

以及

$$W_{F,\text{av}} = \frac{W_{F,\max} + W_{F,\min}}{2}, \qquad W_{E,\text{av}} = \frac{W_{E,\max} + W_{E,\min}}{2}$$

锥形栅指的接触电阻贡献会按以下方式缩放：

$$R_{s,\text{cont}}^{\text{(finger, eff)}} = R_{s,\text{cont}}^{\text{(finger)}} \cdot \frac{W_{F,\text{av}}}{W_{E,\text{av}}}$$

这个修正仅在求解器中启用发射极或表面片电阻时才会应用。 对于较大的 $r_{\text{cont}}$（或非常低的 $R_\square$），转移长度变得与栅指宽度相当，$W_E \approx W_F$，此时电流拥挤修正变得可以忽略。

符号含义$r_{\text{cont}}$, 比接触电阻（金属–半导体界面）$R_\square$, 下层发射极或表皮层的片电阻$L_T$, 接触的转移长度$W_F$, 栅指名义宽度$W_E$, 恒宽栅指的有效接触宽度$W_{Fmax}$, 锥形栅指的最大宽度$W_{Fmin}$, 锥形栅指的最小宽度$W_{F\text{av}}$, 锥形栅指的平均名义宽度$W_{Emax}$, 对应 $W_{Fmax}$ 的有效宽度$W_{Emin}$, 对应 $W_{Fmin}$ 的有效宽度$W_{E\text{av}}$, 锥形栅指的平均有效宽度

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发射极与表面片电阻

除金属栅线外，SunSolve Power 还可以包含导电表面层中的横向传导，例如前后发射极或透明导电氧化物 (TCO)。在用户界面中，这些层标记为前表皮和后表皮，并通过其片电阻 $R_\square$（单位 $\Omega/\square$）来指定。

每个表皮层被建模为平行栅指之间的均匀导电片。对于电池的给定一侧，求解器使用栅指间距 $p$（相邻栅指之间的中心到中心间距）和栅指间隔 $s$（相邻栅指边缘之间的距离）来计算该层的串联电阻贡献，单位为 $\Omega \cdot \text{cm}^2$：

$$R_{s,\text{skin}} = R_\square \cdot \frac{p \cdot s}{12}$$

这里

量含义$R_\square$, 在用户界面中为前或后表皮输入的片电阻$p$, 栅指间距（相邻栅指之间的垂直距离）$s$, 栅指间隔，等于间距减去栅指宽度

前表皮和后表皮使用这个表达式独立求解（每一侧使用相应的间距和宽度），它们的 $R_{s,\text{skin}}$ 值会加到 $R_{s,\text{cell}}$ 中。

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体（基区）电阻

SunSolve Power 还可以包含穿过晶圆基区的体电阻，在用户界面中通过体电阻率 $\rho_\text{base}$（单位 $\Omega \cdot \text{cm}$）和电池厚度 $t$ 配置为基区电阻。

基区被视为一个均匀的半导体板，电流在前表面和后表面之间垂直传输。对应的串联电阻贡献（单位 $\Omega\cdot\text{cm}^2$）为：

$$R_{s,\text{base}} = \rho_\text{base} \cdot t$$

其中 $t$ 是晶圆的物理厚度（用户界面中输入的厚度在此计算中会被内部转换为厘米）。当基区电阻选项启用时，该项会加到金属栅线和接触电阻贡献中。

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电池总串联电阻

电池串联电阻的总值是所有计算电阻的总和。

栅线计算器计算：

$$R_{s,\text{cell}} = \sum_{\text{grid elements}} R_s \;+ \sum_{\text{contacts}} R_{s,\text{cont}} \;+ R_{s,\text{skins}} \;+ R_{s,\text{bulk}}$$

其中 $R_{s,\text{skins}}$ 包括任何启用的前后导电表皮，$R_{s,\text{bulk}}$ 是体（基区）电阻贡献。

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